n Uk U1 U2 Un

k 1

n

(u1 u2 uk1) (uk1 1 uk1 2 uk2) (ukn 1 1 ukn 1 2 ukn) Skn.

由于

U

n 1

n

收敛，故{ n}有界，即{Skn}有界，即存在M 0，使得 n N，都有Skn M.

又由于

u

n 1

n

是正项级数，故Sn Skn M，而且{Sn}单调上升，由单调有界原理可知，

原级数

u

n 1

n

收敛．

§3 正项级数

1．判别下列级数的收敛性： （1）

n 1

1n n

2

；

（2）

1

； 2n 1

(2n 1)2n 1

（3）

n n

； n 12n 1

（4）

sin

n 1

2

n

；

（5）

1

(a 1)； n

1 an 1

（6）

n

n 1

1

n

；

n

1

（7） ；

n 1 2n 1

（8）

ln(n 1)n 1

1

n

；