n

n! 2n e12n

e

n

n

(0 1)，

n!en

因而n

n

n

2n e12nen

e 12n

2ne 2n，通项的极限不为0，由级数收敛的

nn

n!en

必要条件知原级数 n发散．

n 1n

(n)2n2

lim 0 1，（6） ．因为lim故 收敛． nnnn n 11 n 1 1 n 1 1 n n n n nnnn

n2n2

（7）

2n 1

．由于lim n n 1 3n 2

n2

2n 1 2n 1

lim

n 3n 2 3n 2

n2

2

1，由柯西判别法3

知，原级数收敛．

（8）

n 1

nn

(3n2 n)

n 12

．由于

nn

(3n2 n)

n 12

nn(3n2 n)

n2

13n n

2

0(n )，nn

因此，如果级数

n 1

nn(3n2 n)

n

n2

收敛，则原级数也收敛.考虑级数

n 1

(3n2 n)

n2

，由于

limn

nn(3n2 n)

n2

lim

n

3n n

2

13

1，故它收敛，因而原级数也收敛．

xn

(x 0)．当x 0时，级数显然收敛；当x 0时，（9） 2n

n 1(1 x)(1 x) (1 x)

由于

xn 1

x,0 x 1,

2n 1

1x(1 x)(1 x) (1 x)

lim lim x 1, ,nn 1n n x1 x 2

x 1. 0,(1 x)(1 x2) (1 xn)

xn

因而 收敛，因此原级数对一切x 0收敛． 2n

(1 x)(1 x) (1 x)n 1

（10）由于

3 5 7 (2n 1)33 53 5 73 5 7 9

， ．级数的一般项un

1 4 7 (3n 2)11 41 4 71 4 7 10