(1 x)y (1 x) n(n 1)anx

2

2n 2

n 2

n(n 1)anx

n 2n 1

n 2

n(n 1)anxn，

n 2

2xy 2x nanx

n 1

2nanxn，

n 1

l(l 1)y l(l 1) anx l(l 1)anxn.

n

n 0

n 0

将上述结果代入勒让德方程(1 x)y 2xy l(l 1)y 0，得

2

0 (1 x2)y 2xy l(l 1)y

n(n 1)anx

n 2

n 2

n(n 1)anx 2nanx l(l 1)anxn

n

n

n 2

n 1

n 0

n

n

n

(n 2)(n 1)an 2x n(n 1)anx 2nanx l(l 1)anxn.

n 0

n 2

n 1

n 0

比较系数，得递推公式如下：

l(l 1)a0 2a2 0, (l 1)(l 2)a 6a 0,

13

(l 2)(l 3)a2 12a4 0,

(l (n 1))(l n)a (n 1)na 0,

n 1n 1

(l n)(l n 1)an (n 2)(n 1)an 2 0,

.

由此解得