1

x 2 1 1 1 1 ， f (x) f(x) ln 1 x 1 ln1 1x x x x 1 1

x

因此

1 1 1 e 1 0

0 n n limlim

n n 1

n

n

n

1 1 ln1 n

1 2 1 1 n n 1 lim n1 ln1 n 1nnn 1 2

n

n

111 2 1 1 1

lim n 1 233n nnn 12n3nn

n

11 1 2 1 1 lim 1 n 2 3 3 n 3n n n(n 1)2n n n2 111e 1 n 1 lim 1 e . n 22 n n(n 1)23n n

111

该极限为有限数，因而e 1 与是同阶无穷小量，由于 p当p 1时收敛，

nn n 1n

n

1 n

p 1时发散，因而原级数 e 1 当p 1时收敛，p 1时发散．

n 1 n

p

1

（2） ln．由于

cosn n 3

p

ln

1 11 2 2 lnsec lnsec ln1 tan cos n2n2n 22

)1 2 (tan 2 tan tan， 2 n2n

1

故lim ln n cos

1 211

ln，这是一个有限数，从而与是同阶无穷小量，因22

2ncosn

p

111

此原级数 ln与的收敛性一致，所以当即时，原级数收敛，2p 1p 2p

2cos n 1nn 3

1

而当2p 1即p 时，原级数发散．

2