概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

又E(X2)

1θ

0

xe

2

xθ

令t dx

xθ

θ

2

0

te

2 t

dt 2θ

2

D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ2

21．设X1, X2 , , Xn是相互独立的随机变量且有E(Xi) μ,D(Xi) σ2,i=1,2, , n.

1

记X

n

X

i

，S

2

1

n

(X

i

X).（1）验证E(X) μ,D(X)

2

σ

2

.（2）验证

n

i 1

n 1

i 1

n

n

S

2

1 n 1 X22

i nX

.（3）验证E (S 2 )

i 1

n

n

n

证明：（1）E(X) E(

1

n

X1

i)

i)

i 1

n

E(X1

i 1

n

μ μ

i 1

(利用数学期望的性质2°，3°)

n

n

2

D(X) D(

1, ,Xn相互独立

1n

n

XX1i)

X

2

i

)

1

i 1

n

2

D(i 1

n

2

i 1

n

(利用方差的性质2°，3°)

n

n

（2）首先证 (X2

i X)

X

2i

nX

2

i 1

i 1

nn

n

n

(X

2

i

X)

(X

2i

2X2

iX X)

X

2i

2

XiX nX

2

i 1

i 1i 1i 1

n

n

X2

2

2

2

i 2nX X nX

Xi nX.

i 1i 1

n

n

于是S

2

1 2 2

n 1 X

i

nX

2

1

i 1

n 1

(X

i

X)

i 1

n

n

（3）E(S2

) E[

1

2

n 1

(X122

i X)] n 1E(

Xi nX)

i 1

i 1

n

1

n 1

E(X

2i

) nE(X

2

)

i 1