概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

+2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]}

= D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2D(X)D(Y)ρ +2D(Z)D(X)ρ

1

ZX

XY

2D(Y)D(Z)ρ

XZ

1 0 2 1(

1) 2

2 1() 3

2

26.[二十八] 设随机变量（X1，X2）具有概率密度。

f(x,y)

1

(x y)， 0≤x≤2, 8

0≤y≤2

X1X2

求 解：

E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），ρ

E(X2) E(X2)

D(X1 X2)

2020

dxdx

2020

x y

17

(x y)dy

8617

(x y)dy

86

COV(X1X2) E{(X1

77

)(X2 )} 66

20

dx (x

2

76

)(y

2

76

)

18

(x y)dy

2

136

D(X1) E(X) [E(X1)]

2

1

2

20

dx

111 7

x (x y)dy

8636

2

D(X2) E(X) [E(X2)]

2

2

2

20

dx

20

111 7

y (x y)dy

836 6

2

2

XY

COV(X1,X2)DX

1

1

DX

2

136

111136

D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =

111115

2 ( ) 3636369

28.[二十九]设X～N（μ，σ 2），Y～N（μ，σ 2），且X，Y相互独立。试求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相关系数（其中 , 是不为零的常数）.

解：由于X，Y相互独立

Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY )