概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

=α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2

DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,

(利用数学期望的性质2°3°)

故ρ

Z1Z2

Cov(Z1,Z2)DZ

1

(α(α

22

β) β)

2

2

DZ

2

2

29．[二十三] 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.5）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.

解：已知X～N（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.52A）.故由题意得

P {Y≥2000}≤0.05 P{Y 2000) 0.95 即

2000 50A 2000 50A

0.95查表得 1.65解得A≥39.

2.5A2.5A

30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.

解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式

P{5200 X 9400} P{|X 7300| 2100} 1

7002100

22

1

18

0.8889 99

31.[三十三]对于两个随机变量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,证明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )这一不等式称为柯西施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.

证明：由|VW|

1

(V2

2

W)和关于矩的结论，知当E (V), E (W )存在时E (VW)，

22 2

E(V ), E(W ), D (V ), D (W ),都存在.当E (V2 ), E (W 2 )至少有一个为零时，不妨设E (V2 )=0，

由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此时[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。再由方差的性质知P (V=0)=1.又(VW 0) (V 0)故有P (VW=0)=1.于是

2 2

E(VW)=0，不等式成立. 当E (V)>0，E (W )>0时，对 t 0

有E (W－tV)= E (V) t－2 E(VW)t+ E (W )≥0.(*)

(*)式是t的二次三项式且恒非负，所以有 =[－2 E(VW )] 2－4 E (V2 ) E (W 2 ) ≤0 故Cauchy-Schwarz不等式成立。

[二十一（]1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1－X2+3X3－

2 2 2 2

1

X4，求E (Y)，D (Y)。 2

（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，30），Y～N（640，25），求Z1=2X+Y，

22