概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

设 Xi

i第i次试开能开门 0第i次试开不能开门

i=1, 2 n

n

则试开到能开门所须试开次数为X

i 1

Xi

∵

E (Xi)=i

1

n

i=1, 2 n

nn

∴ E(X)

i 1

E(Xi)

i 1

i12nn 1

nnnn2

15. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*

验证E (X* )=0，D (X* )=1

（2）已知随机变量X的概率密度。

1 |1 x|,

f(x)

, 0

0 x 2其它,X E(X)D(X)

求X*的概率密度。 解：（1）E(X*) E[

X E(X)D(X)

]

1D(X)

[E(X) E(X)] 0

X E(X

22

D (X* )= E [X*－E (X )* ]]= E (X* )= E

D(X) )

2

= （2）E(X)

2

112

E[X E(X)] D(X) 1 D(X)DX

20

x[1 |1 x|]dx

20

2

10

x[1 (1 x)]dx

21

x[1 (1 x)]dx 1

E(X)

x[1 |1 x|]dx

10

x[1 (1 x)]dx

2

21

7

x[1 (1 x)]dx

6

2

概率论与数理统计浙大四版教材习题解答

D(X) E(X) [E(X)]

22

71 1 66

X*

X E(X)

DX

X 11

6

FX*(y) P(X* y) P(

X 116

y) P(X

16

1

y 1)

6

y 1

f(x)dx

0 1

y_1

6[1 |1 x|]dx

0 1

当

16

y 1 0,即y 6时1616

y 1 2,即

6 y

6时

当0 当2

y 1,即6 y时

11

y 1)| {1 |1 (

gX*(y) 66

0

6 y 6

y为其他值

16.[十六] 设X为随机变量，C是常数，证明D (X )<E {(X－C )2 }，对于C≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X－E (X )]2 }，上式表明E {(X－C )2 }当C=E (X )时取到最小值。）

证明：∵ D (X )－E (X－C )2 = D (X2 )－[E (X )]2－[E (X2 )－2CE (X2 )+C2 =－{[E (X )]－2CE (X )+C} =－[E (X )－C ] 2<0，

∴当E (X )≠C时D (X )< E (X－C )2

1 x e,x 017. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为f(x) θ其中θ>0是常

0,x 0

2

2

2

数，求E (X )，D (X )。

解：

E(X)

0

1 θxedx θ

x

0

xd( e

xθ

) xe

xθ

0

0

e

xθ

dx 0 ( θe

xθ

)

0

θ