则uuAFur uuuEAr

，uuAFur uuEDur1 0 0．于是AF EA1，

AF ED，又EA1IED E， 所以AF 平面A1ED．

ruuur 1y z （Ⅲ）设平面EFD的法向量ur x,y,z ，则 u EF 0, ruuEDur

即

20, u 0. x 1 2

y 0.取x 1，则y 2，z 1．ur

x,y,z 1,2, 1 ．

由（Ⅱ）可知，uAFuur

uu为平面A1ED的一个法向量，又

AFur 1,2,1 ．

所以cosur,uuAFur ur uuAFurruuuru

AF

23，从而sinu,AF 所以二面角A1 ED

F 解法2．设AB 1，由CF AB 2CE，AB:AD:AA1 1:2:4知

AD 2，AA1 4，CF 1，CE

12

． （Ⅰ）连接B1C，BC1，设B1C与BC1交于点M，易知A1D//B1C． 由

CE CF 1

，所以EF//BC1． ACBCCD1

14

EFB所以 BMC是异面直线与A1

1D所成的角．

因为SM CM

12B1C 所以由余弦定理有

BM2 CM2 BC2cos BMC 3

．2 BM CM5

所以异面直线EF与A3B1D所成的角的余弦值为5

． E（Ⅱ）连接AC，设AC与DE交于点N．

因为

CDCB CEAB 1

2

，所以Rt DCE∽Rt CBA．从而 CDE BCA． 又由于 CDE CED 90 ，所以 BCA CED 90 ．因此AC DE．

又因为CC1 DE，且CC1IAC C，所以DE 平面ACF．从而AF DE．