∴OD∥PB1，又OD 面BDA1，PB1 面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1． （Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A， ∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角． 在Rt△A1C1D

中，A1D ，

又S AA1D

11 1 1

AE，∴AE 22在Rt△BAE

中，BE AH2

，∴cos AHB ．

BH3

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为

2

． 3

解法二： 如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

11

（Ⅰ）在△PAA1中有C1D AA1，即D(0,1,)．

22

∴A1B (1,0,1)，A1D (0,1,x)，B1P ( 1,2,0)．

设平面BA1D的一个法向量为n1 (a,b,c)，

n1 A1B a c 0,

1

c 1则 令，则 n (1,, 1)． 11

2n AD b c 0. 11

2 1

∵n1 B1P 1 ( 1) 2 ( 1) 0 0，

2

∴PB1∥平面BA1D，

1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量n1 (1,, 1)．

2又n2 (1,0,0)为平面AA1D的一个法向量．∴cos n1,n2

n1 n212

．

|n1| |n2|1 33

2

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为

2． 3

正视图

天津理

12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．

侧视图

10【解】．

3

几何体是由一个正四棱锥和一个长方体组合而成．

设几何体的体积为V，正四棱锥的体积为V1，长方体的体积为V2． 则V V1 V2

12410

2 1 12 2 2 ． 333

14．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB

和

俯视图

DC相交于点P．若

【解

PB1PC1BC

， ．则的值为 ． PA2PD3AD

PBPCBC

． PDPADA

因为四边形ABCD是圆O的内接四边形，

所以 PBC D，又 BPC DPA，所以 BPC∽ DPA．于是

PB1PC1PBPC BC

， ，所以因为 ， PA2PD3PDPA DA

2

PBPC BC PBPC BC 111BC从而，于是，． PAPD DA PAPD DA

236AD

19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD A1BC11D1中，E,F分别是棱BC，CC1上的点，CF AB 2CE，AB:AD:AA1 1:2:4．

（Ⅰ）求异面直线EF与A1D所成的角的余弦值； （Ⅱ）证明：AF 平面A1ED；

B

ED

BAD1

22

（Ⅲ）求二面角A1 ED F的正弦值．

【解】解法1．如图所示，建立空间坐标系，点A为坐标原点．设AB 1，由CF AB 2CE，AB:AD:AA1 1:2:4知

1AD 2，AA1 4，CF 1，CE ．

2

于是C 1,2,0 ，D 0,2,0 ，F 1,2,1 ，E 1,,0 ，A1 0,0,4 ．

3

2

uuur 1 uuur

（Ⅰ）EF 0,,1 ，A1D 0,2, 4 ．

2

uuuruuur

uuuruuurEF A1D

于是cosEF,A1D

EF A1D

1

0 0 2 1 1 4

3 ．

5

由于异面直线所成的角的范围是 0,

2

，所以异面直线EF与A1D所成的角的余弦值为

3． 5

uuuruuur r 3 uuu1 （Ⅱ）AF 1,2,1 ，EA1 1, ,4 ，ED 1,,0 ，

2 2