立体几何题型与方法(理科)(9)

答案：由题意：5OP OA 2OB 2OC，

∴(OP OA) 2(OB OP) 2(OC OP)， ∴AP 2PB 2PC，即PA 2PB 2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对

照形式将已知条件进行转化运算．

2. 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且

11

BD，AN AE．求证：MN//平面CDE． 33

解析：要证明MN//平面CDE，只要证明向量NM可以用平面CDE内的两

个不共线的向量DE和DC线性表示．

1

答案:证明：如图，因为M在BD上，且BM BD，所以

3

1 1 1 1 1 MB DB DA AB．同理AN AD DE，又

33333 CD BA AB，所以MN MB BA AN

1 1 1 1 2 1 1 2

(DA AB) BA (AD DE) BA DE CD DE．又CD与DE不共线，根据共面向33333333

量定理，可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDE内，所以MN//平面CDE． BM

点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开. 考点二 证明空间线面平行与垂直

3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；

解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；

（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1，∵ DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1；

解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，

3

0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）

2

（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC BC1＝0，∴AC⊥BC1.

31

（

2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－，0,2），AC1＝（－3,0，4），∴ AC1，

22

∴DE∥AC1.

点评：2．平行问题的转化： 面面平行

转化

线面平行

转化

线线平行；

主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．

4. （2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB

AD，CD AD，PA

底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN 平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直， 二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

答案：（1） M是PC的中点，取PD的中点E，则

11CD，又ABCD 22

四边形ABME为平行四边形 BM∥EA，BM 平面PAD EA 平面PAD

BM∥平面PAD （4分）

（2）以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B 1,0,0) ，C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，M 1,1,1 ，E 0,1,1

ME

在平面PAD内设N 0,y,z ，MN 1,y 1,z 1 ，PB 1,0, 2 ，DB 1, 2,0 由MN PB

MN PB 1 2z 2 0 z

1 2

1 2

（8分）

由MN DB MN DB 1 2y 2 0 y

11

N 0,, N是AE的中点，此时MN 平面PBD

22

（3）设直线PC与平面PBD所成的角为

11

PC 2,2, 2 ，MN 1, , ，设PC,MN为

22

cos

PC MN

223

62

PCMN

22

co s sin

33

故直线PC与平面PBD所成角的正弦为

解法二：

（1） M是PC的中点，取PD的中点E，则

2 3

（12分）

11MECD，又

ABCD

22

四边形ABME为平行四边形 BM∥EA，BM 平面PAD EA 平面PAD

（4分） BM∥平面PAD

（2）由（1）知ABME为平行四边形

PA 底面ABCD PA AB，又AB AD

AB 平面PAD 同理CD 平面PAD，AE 平面PAD

为矩形 CD∥ME，CD PD，又PD AE AB AE ABME

PD 平面PBD ME PD PD 平面ABME

平面PBD 平面ABME 作MF EB故MF 平面PBD MF交AE于N，在矩形ABME内，AB ME 1，AE 2

22，NE N为AE的中点 MF

23

（8分） 当点N为AE的中点时，MN 平面PBD

（3）由（2）知MF为点M到平面PBD的距离， MPF为直线PC与平面PBD所成的角，设为 ，

MF2

sin

MP3

直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为

2

3

点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来