立体几何题型与方法(理科)(5)

c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）

D

ii. 若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直

E

F

简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令AB a,AD c,AC b 得BC AC AB b a,AD c BC AD bc ac，已知a c b 0,b a c 0

ac bc 0则BC AD 0.

BA

O'B

C

iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点O'，则oo AC,BO AC AC 平面OO B AC BO FGH 90°易知EFGH为平行四边形 EFGH为长方形.若对角线等，则

EF FG EFGH为正方形.

（3）. 球：

a.球的截面是一个圆面.

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①球的表面积公式：S 4 R2.②球的体积公式：V R3.

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Ob.纬度、经度：

①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.

附：①圆柱体积：V r2h（r为半径，h为高）

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②圆锥体积：V r2h（r为半径，h为高）

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③锥体体积：V Sh（S为底面积，h为高）

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