立体几何题型与方法(理科)(4)

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是矩形,可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. d.平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. ．．．．．．．．．．．．．[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 , , ，则 cos2 cos2 cos2 1. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 , , ，则cos2 cos2 cos2 2. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） ．

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

（2）. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱 Sh 3V棱柱.

a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：S

1

Ch'（底面周长为C，斜高为h'） 2

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧

S底cos

（侧面与底面成的二面角为 ）

c

附：以知c⊥l，cos a b， 为二面角a l b. 则S1

S11

a l①，S2 l b

②，cos a b③ ①②③得S侧 底. 22cos

注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.

b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.