立体几何题型与方法(理科)(7)

（3）.a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），

z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

①令a=(a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)，则

a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)， a ( a1, a2, a3)( R)，a b a1b1 a2b2 a3b3 ， a∥b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)

a1a2a3

。 b1b2b3

a1b1 a2b2 a3b3 0。

a12 a22 a32(

a a )

a1b1 a2b2 a3b3 a b

空间两个向量的夹角公式cos a,b

222222

|a| |b|a1 a2 a3 b1 b2 b3

（a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）。

②空间两点的距离公式：d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2.

b.法向量：若向量a所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作a ，如果a 那么向量a叫做平面 的法向量.

c.向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面 的法向量，AB是平面 的一条射线，其中A ，则点B到平面 ②.异面直线间的距离

d 为l1,l2间的距离).

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d

AB m

(m为平面 的法向量). ③.直线AB与平面所成角 arcsin|AB||m|

④.利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角 l 中平面 , 的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（1,n2方向相同，则为补角，1,n2反方，则为其夹角）.

m nm n

二面角 l 的平面角 arccos或 arccos（m，n为平面 ， 的法向量）.

|m||n||m||n|

d.证直线和平面平行定理：已知直线a 平面 ，A,B a,C,D ，且C、D、E三点不共线，则a∥ 的充要条件是存在有序实数对 , 使AB CD CE.（常设AB CD CE求解 , 若 , 存在即证毕，若 , 不