立体几何题型与方法(理科)(11)

ax ay 0， 得 a

aaztan 0． x y

222

可取n )，又BC (0， a，0)，

πn·BC ，

于是sin

6nBCππ∵0 ，∴ =．

24即sin 故交 =

ππ

时，直线BC与平面VAB所成的角为． 46

解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

D(0，0，，0)A0， a，0，B0a，0，C ，0，

0V ，0atan 则 2 2 ， 2 ，

22 0

tan 0，

0 于是DV 0)．

， ，DC ， ，AB (0，

AB DC．

0，0 从而AB·DC (0，

0)· ， 0，即

·DV (0，0) a，0tan 0，即AB DV． 同理AB 2 2

又DC DV D， ∴AB 平面VCD． 又AB 平面VAB， ∴平面VAB 平面VCD． （Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n (x，y，z)，

0， 则由n ·AB 0，n

·DV 0，得 tan 0． BC a， a，0n (tan ，0，

1)可取，又 2 ，

2

A

tan πn·BC ， 于是sin 62nBCππππ

∵0 ，∴ =． 故角 时， 2244

π

即直线BC与平面VAB所成角为．

6

即sin

点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,

但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解

考点五 折叠、展开问题

9．（2006年辽宁高考）已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点,将 ADE沿DE折起,如图所

示,记二面角A DE C的大小为 (0 )

(I) 证明BF//平面ADE;

(II)若 ACD为正三角形,试判断点A在平面

BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,

并求角 的余弦值

分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.

解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形

BF//ED.

EF 平面AED,而BF 平面AED, BF//平面ADE

(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD

ACD为正三角形, AC=AD.

CG=GD.

G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH DE,所以 AHD为二面角A-DE-C的平面角 即 AHG .

设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的 AEF中

,AF=,EF=2AE=2a,即 AEF为直角三角形,

AG EF AE

AF.

AG

. a 在Rt ADE中, AH DE

AE AD AH

2cos

GH

GH AH点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量.

考点六 球体与多面体的组合问题

10．设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这

个棱锥的最大球的半径.

分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径. 解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA， ∴AB⊥平面MAD， 由此，面MAD⊥面AC.

记E是AD的中点，从而ME⊥AD. ∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.

设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球. 不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心. 设球O的半径为r，则r＝设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1. ∴ME＝

2S△MEF

EF EM MF

2222

.MF＝a (), aa

r＝

2

a

22 a2 ()2aa

≤

2

＝2-1。

2 22

当且仅当a＝

2

，即a＝2时，等号成立. a

∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.

点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。

二、 方法总结 高考预测

（一）方法总结 1．位置关系：

（1）．两条异面直线相互垂直

证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90º；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （2）．直线和平面相互平行

证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。

（3）．直线和平面垂直

证明方法：○1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，○2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。