立体几何题型与方法(理科)(10)

起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来.

考点四 探索性问题 7. （2007

年4月济南市）如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面

互相垂直且DE=2，ED//AF且∠DAF=90°。

（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；

（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不

存在，说明理由。

解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。

答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系， 则B（2，0，0），D（0，0，2）， E（1，1，2），F（2，2，0）， 则 (2,0,0), ( 1,1,2), (0,2,0) 设平面BEF的法向量 (x,y,z),则 x

y 2z 0,y 0，则可取 (2,1,0)，

∴向量DB和n (2,0,1)所成角的余弦为

2 2 0 222 1222 ( 2)2

。 10

即BD和面BEF所成的角的余弦

。 10

（2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P

1 2m1 2m2

,,), 1 m1 m1 m1 2m1 2m21 2m12

,,),，向量CP (, ,), 则向量AP (

1 m1 m1 m1 m1 m1 m

1 2m1 2m21

0 ( 2) 0,所以m 。 所以2

1 m1 m1 m2

点坐标为(

点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知

识解题提出了较高要求。

D是AB的中点，AC⊥BC，VC⊥底面ABC，8. (2007安徽·文) 如图，在三棱锥V ABC中，且AC BC a，

π

∠VDC 0 ．

2

（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；

π

（II）试确定角 的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

6

解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.

答案:解法1：（Ⅰ）∵AC BC a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点， ∴CD AB，又VC 底面ABC．∴VC AB．于是AB 平面VCD． 又AB 平面VAB，∴平面VAB 平面VCD．

（Ⅱ） 过点C在平面VCD内作CH VD于H，则由（Ⅰ）知CD 平面VAB． 连接BH，于是 CBH就是直线BC与平面VAB所成的角． 依题意 CBH

π

，所以 6

在Rt△

CHD中，CH

sin ； 2

πa ，

62

在Rt△BHC中，CH asin

∴sin ∵0

故当

． 2

ππ，∴ ． 24

ππ时，直线BC与平面VAB所成的角为． 46

，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则解法2：（Ⅰ）以CA

aa

C(0，0，，0)A(a，0，，0)B(0，a，，0)D ，0 ，V 0，0tan ，

22 aa aa 于是，VD 0 ，AB ( a，a，0)．

22 2atan ，CD 22

11 aa

从而AB·CD ( a，a，0)· ，0 a2 a2 0 0，即AB CD．

22 22 aa 1212

AB·VD ( a，a，0)·， atan

a a 同理 22 222

即AB VD．又CD VD D，∴AB 平面VCD． 又AB 平面VAB．

∴平面VAB 平面VCD．

（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n (x，y，z)，

则由n·AB 0，n·VD 0．