立体几何题型与方法(理科)(6)

（1）. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h

622a，S底 a，S侧 a，得344

3262122426

a a a R a R R a/ a a. 434344344

11

注：球内切于四面体：VB ACD S侧 R 3 S底 R S底 h。

33

R

O

②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 6. 空间向量.

（1）. a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. 注：①若与共线，与共线，则与共线.（×） [当 时，不成立] ②向量,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]

③若a∥b，则存在小任一实数 ，使a b.（×）[与b 0不成立] ④若a为非零向量，则0 .（√）[这里用到 b(b 0)之积仍为向量]

b.共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b 0)，a ∥b的充要条件是存在实数 （具有唯一性），使a b. c.共面向量：若向量使之平行于平面 或在 内，则与 的关系是平行，记作∥ .

d.①共面向量定理：如果两个向量,不共线，则向量与向量,共面的充要条件是存在实数对x、y使 x y.

②空间任一点和不共线三点、B、C，则OP xOA yOB zOC(x y z 1)是PABC四点共面的充要条．．．O．．．．．．．A．．．．．件.

（简证：OP (1 y z)OA yOB zOC AP yAB zAC P、A、B、C四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法.

（2）. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数．．．．,,不共面．．．组x、y、z，使p xa yb zc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 OP xOA yOB zOC(这里隐含x+y+z≠1).

B

注：设四面体ABCD的三条棱， , , ,其

O

1

中Q是△BCD的重心，则向量AQ (a b c)用AQ AM MQ即证.

3

D

A

对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP xOA yOB zOC，

则四点P、A、B、C是共面 x y z 1