赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦(8)

①若 1, 2a,则1 2a,a

2

1 2

此时，y 6(x 1)2 0，不存在极值； 5分 ②若 2a, 1,则( 2a) 1,得a 当a

2

11

,或a （舍） 22

1

时,x ( , 1),y 0;x ( 1,1),y 0;x (1, ), 2

1

y 0满足题设条件 综合①②，a 7分

2

（Ⅱ）由（I）知 1, 1, y极小 5

所以y极小 y极大 2 12分 9. 已知函数f(x)

y极大 3 10分

1 x

lnx， ax

（1）若函数f(x)在[1, )上是增函数，求正实数a的取值范围； （2）a=1时，求f(x)在 ,2 上的最大值和最小值；

2 （3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，ln解：（1）由已知：f'(x)

依题意：

1

n1

。 n 1n

ax 1

， 2 ax2

ax 1

0对x [1, )成立， 2

ax

1

，对x [1, )恒成立， x

∴ ax 1 0，对x [1, )恒成立，即a ∴ a

1

，即a 1。 4

x max

x 1 1

,x ,2 , 2 x 2

（2）当a 1时，f'(x)

若x ,1 ，则f'(x) 0， 若x (1,2]，则f'(x) 0，

1

2

故x 1是函数f(x)在区间 ,2 上唯一的极小值点，也就是最小值点，

2故f(x)min f(1) 0。 6

1