赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦(7)

所以，当D=R时，f(x)=x2 1属于M 6分

(2)当D=(0,+∞)时，f(x)=

1

不属于Mx

事实上，取x1=

11111，x2= (n ∈N*)，则|x1-x2|=|-|=<1， nn 1nn 1n(n 1)

但是 | f(x1)- f(x2)| =|n+1-n| =1>|x1-x21

不属于M 9分 x

1

如果存在一个集合D （0，+∞），使得f(x)=属于MD，

x

所以，当D=(0,+∞)时，f(x)=

设x1，x2 ∈（0，+∞）(x1≠x2)，则| f(x1)- f(x2)| =|

11|x1 x2|-|=，

x1x2x1x2

欲使| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2|，即

|x1 x2|

<|x1-x2|，只需x1x2>1， x1x2

故存在集合D=（1，+∞）时，对于任意x1，x2 ∈D=（1，+∞），都有

| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2 12分

解法二：若f(x)属于MD，则对于任意x1≠x2 ∈D，都有| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2|，

即|

f(x1) f(x2)

|<1，亦即，当x∈D时，应有|f ′(x)|<1，

x1 x2

对于f(x)=x2 1来说，f ′(x)

，显然当x∈D=R时，均有|f ′(x)|<1，

所以，f(x)=x2 1属于M 而对于f(x)=

11

来说，f ′(x)= 2，可见，当x>1时，有|f ′(x)|<1， xx

当0<x<1时，|f ′(x)|>1，

1

不属于MD， x

1

但存在集合D=（1，+∞），使得f(x)=属于Mx

32

8. 函数y 2x 3(1 2a)x 12ax 1在x 处取极小值，x 处取极大值，

所以，当D=(0,+∞)时，f(x)=

且 . （Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数的极大值与极小值的和.

解：（I）y 6x 6(1 2a)x 12a 6(x 1)(x 2a) 2分

由y =0，得x 1,或x 2a 3分

2

2