赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦(9)

113lne3 ln16 1

又f() 1 ln2,f(2) ln2,f f(2) 2ln2 ，

2222 2

∵ e 2.7 19.683 16，

∴ f f(2) 0，∴ f f(2)， 8

3

3

1 2 1 2

∴ f(x)在 ,2 上最大值是f =1 ln2，

2 2

∴ f(x)在 ,2 最大1 ln2，最小0。 10 2（3）当a=1时，由（1）知，f(x) 当n 1时，令x

1 1

1

1 x

lnx在[1, )是增函数。 x

n

，则x 1，∴f(x) f(1) 0， n 1n1

n n 1 lnn 1 lnn 0， 即f

n 1nn 1 n 1

n 1

n1

。 14 即ln

n 1n

1 x2

10. 已知函数f x x R .

1 x x2

（1）求函数f x 的单调区间和极值；

t

（2）若et 2x2 ex求实数t的取值范围（这里e是 et 2≥0对满足x≤1的任意实数x恒成立，

自然对数的底数）

（3）求证：对任意正数a、b、 、 ，恒有：

a b 2 f

解（1）f x

a2 b2

f

a b a2 b2

. ≥

2

2x 1 x x2 2x 1 1 x2

1 x x2

2

x 2 x 2

2

1 x x2

∴f x

的增区间为 2 2，f x

减区间为 , 2

和 2 . 3分

极大值为f 2

f 2 . 5分

（2）原不等式可化为et≥

2 1 x2 1 x x2

由（1）知，x≤1时，f(x)的最大值为

2. 3