赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦(5)

1 a31 1f() , , 111 2 2888

即 解得a 1. ② 又x [,]时f(x) ,所以 11a31428 f() , . 8 4 4328

由①②得a 1. 6分

11

，不等式0 an 成立； 2n 1

211

因f(x) 0,x (0,),所以0 a2 f(a1) ,故n 2时不等式也成立.

363

132

（ii）假设n k(k 2)时，不等式0 ak 成立，因为f(x) x x的

k 12

1111

得 对称轴为x ,知f(x)在[0,]为增函数，所以由0 a1

33k 13

1

0 f(ak) f() 8分

k 1

（2）证法一：（i）当n=1时，0 a1 于是有

0 ak 1

131111k 41

, k 12(k 1)2k 2k 2k 22(k 1)2(k 2)k 2

12分 所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何n N，不等式an

1

成立. 14分 n 1

6. 已知函数y f(x) x x a(x [ 1,1],a R).

（1）求函数f(x)的值域；

（2）设函数y f(x)的定义域为D，若对任意的x1,x2 D，都有|f(x1) f(x2)| 1 成立，则称函数y f(x)为“标准函数”，否则称为“非标准函数” 试判断函数

3

，如果是，请给出证明；如果不是，请说y f(x) x3 x a(x [ 1,1],a R).是否为“标准函数”

解：（1）f(x) 3x 1，令3x 1 0,x

'22

3

[ 1,1]..............2分

3