赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦

赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦

1．已知函数f(x)是定义在 2,2 上的奇函数，当x [ 2,0)时，f(x) tx （1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t [2,6]时，求f(x)在 2,0 上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在 0,2 上

的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t 9时，证明：函数y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y 14

13

x（t 2

解x 0,2 时， x 2,0 ， 则 f( x) t( x)

11( x)3 tx x3 22

∵函数f(x)是定义在 2,2 上的奇函数，即f x f x

131

x，即 f(x) tx x3，又可知 f 0 0 22

13

∴函数f(x)的解析式为 f(x) tx x ，x 2,2

2

∴ f x tx （2）f x x t

112

x ，∵t [2,6]，x 2,0 ，∴t x2 0

22

∵ f x

2

1212 2

2x t x t x 1 x2 t x2

3 2

3

8t 27

3

∴x t

2

122t6t6t26x，即 x2 ,x ( 2,0 )时，fmin tt 23339

猜想f(x)在 0,2 上的单调递增区间为 0,

6t

3

（3）t 9时，任取 2 x1 x2 2， ∵f x1 f x2 x1 x2 t

122 x1 x1x2 x2 0 2

∴f x 在 2,2 上单调递增，即f x f 2 ,f 2 ，即f x 4 2t,2t 4 ∵t 9，∴4 2t 14,2t 4 14，∴14 4 2t,2t 4

∴当t 9时，函数y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y 14上．