2004-2012 考研 数学三 真题word打印版(15)

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x 0处连续，在 0, ,( 0)内可导，且

x 0

limf'(x) A，则f '(0)存在，且f' (0) A.

（19）（本题满分10 分）

设曲线y f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x) 0.已知曲线y f(x)与直线

y 0,x 1及x t(t 1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的 t倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11 分） 设

1 1 1 1

A= 111 , 1 1 .

0 4 2 2

（Ⅰ）求满足A 2 1，A2 3 1的所有向量 2， 3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量 2, 3，证明 1, 2, 3线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型

f(x1,x2,x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3.

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12 y22，求a的值. （22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

e xf(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率PX 1Y 1. （23）（本题满分11分）

0 y x其他

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求