高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

射平板，并在A点以角α出射（图1-3-14）。求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。（设）。
　　解: 首先考虑光的路线（图1-3-15）。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律
　　 ，
　　更简单的形式是
　　
　　这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即
　　
　　在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即为常数，于是在平板内任一点有
　　
　　 与x的关系已知，因此沿平板中的光束为
　　
　　图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有
　　
　　现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有
　　
　　因为 ，故有
　　
　　
　　于是
　　
　　因此
　　在本题情形
　　根据
　　得出A点的x坐标为x=1cm。
　　光线的轨迹方程为
　　
　　代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm
　　例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。
　　解: 本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有
　　 （1）
　　 （2）
　　其中
　　
　　 （3）
　　如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角γ。应满足条件
　　
　　可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为
　　 （4）
　　或 （5）
　　现在计算，利用（3）式可得
　　
　　由（1）式可得
　　
　　由此
　　
　　又由（1）式
　　 （6）
　　由图及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，α越大则γ越小。因此，如果与α值最大的光线相应的γ设为，则任何光线都不能射出液面。反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上
方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。
　　自C点发出的α值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由（6）式可知与之相应的；
　　
　　
　　能观察到亮点的条件为
　　
　　即
　　上式可写成