高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。现在求M点的位置。在中
　　 ⑥
　　又 ⑦
　　已知、均为小角度，则有
　　 ⑧
　　与②式比较可知，，即M位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从M射向的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为。
　　 ⑨
　　由②③式可得
　　
　　则 ⑩
　　 例7、在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心离镜面为3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对速度。水的折射率n=4/3。见图1-3-27和图1-3-28。
　　解: 鱼在1秒钟内游过的距离为v。我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦角度本身去近似。
　　在点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像（图1-3-27）。从点以角度发出的光线，在A点的水中入射角为v，在空气中的折射角为，把出射光线向相反方向延长给出虚像位置。显然
　　
　　从三角形，有
　　
　　利用通常的近似
　　 ，
　　于是
　　
　　所以这个虚像与球心的距离为
　　
　　水的折射率n=4/3，从而。若折射率大于2，则像是实像。由像距与物距之商得到放大率为
　　
　　对水来说，放大率为2。
　　以与速度v相应的线段为物，它位于在E处平面镜前距离为2R处，它在镜后2R远的处形成一个与物同样大小的虚像离球心的距离为5R。在一般情形中，我们设。的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定的实像而无需再去考虑平面镜。
　　我们需要求出以γ角度从发出的光线在C点的入射角ε，其中在三角形中
　　 ，
　　玻璃中的折射角为
　　
　　需要算出角。因为
　　
　　而且与C点和D点的两角之和相加，或与和之和相加，两种情况下都等于180°，因此
　　
　　即
　　从三角形，有
　　

　　此外
　　
　　因此像距为
　　
　　若k=5，n=4/3，得
　　
　　放大率为
　　
　　若把k=5，n=4/3代入，则放大率为2/3。
　　综合以上结果，如鱼以速度v