高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

外，即，这是对R的限制条件，有
　　
　　即要求
　　讨论 在极限情形，即 时，有如下结果：
　　
　　即点A与点重合。又因
　　
　　 a=0
　　故透镜凸面的双曲线方程变为
　　
　　即
　　双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系
　　
　　故 ，
　　即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角θ就是全反射的临界角。
　　例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？
　　分析: 如图1-3-11所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。
　　解: 图1-3-11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有
　　
　　
　　即
　　这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。
　　
　　讨论 如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？参见图1-3-13所示，由折身定律，得，，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有，而，即有，因EA与OB平行，所以，所以，即射向A点左边MA区域的折射光（）因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此
时故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为。
　　点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。
　　例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化
　　
　　一束光在O点由空气垂直入