高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知
　　
　　
　　其中
　　①当，α很小时，即
　　δ=（n-1）α
　　厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。设物点S离光楔L则像点在S的正上方。
　　h=lδ=（n-1）αl。
　　②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，，。
　　
　　
　　或者
　　这为棱镜的最小偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。
　　由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。
　　
　　1.3.4、费马原理
　　费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
　　费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
　　一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，（图1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点A与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？
　　解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线与任一条光线的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。
　　（1）取坐标系如图，由光线和的等光程性，得
　　
　　整理后，得到任一点M
（x，y）的坐标x，y应满足的方程为
　　
　　令，，则上式成为
　　
　　这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。
　　（2）透镜顶点A的位置 应满足
　　
　　或者
　　可见，对于一定的n和，由R决定。
　　（3）因点在透镜