高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

可得
　　 （3）
　　这是第三次成像，由（1）、（2）两式可解得
　　 （4）
　　再把（4）式和（3）式相加，可得
　　 （5）
　　为使物点Q与像点在同一竖直平面内，这就要求
　　
　　代入（5）是可解得物距为
　　说明 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已咋的球面半径r求出透镜的折射率n。
　　例2、显微镜物镜组中常配有如图1-4-12所示的透镜，它的表面是球面，左表面的球心为，半径为，右表面的球心为，半径为，透镜玻璃对于空气的折射率为n，两球心间的距离为。
　　在使用时，被观察的物位于处，试证明
　　1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q。
　　2、 2、 。
　　解: 首先考虑面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过面，所以对来说，物点就在处。
　　再考虑到面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13，则由折射定律知
　　
　　在中应用正弦定理得
　　
　　已知 由此得
　　
　　所以
　　设CP与主轴的夹角为α，则有
　　
　　显然，θ≠0时，r＜α，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。
　　θ为的外角
　　
　　在中应用正弦定理，得
　　
　　
　　 的数值与θ无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与的距离为。
　　例3、有一薄透镜如图1-4-14，面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为和；面是球面，其球心C与 重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e。
　　(1)求此透镜材料的折射率n（要论证）；
　　(2)如果将此透镜置于折射率为的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？
　　分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。
　　解:
（1）根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C，即射向旋转椭球面的第二焦点，则可满足题设要求。光路图如图1-4-15所示：PA为入射线，AC为经椭球面折射后的折射线，BN为