湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

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习题二

1．找出下列方程在0

x=附近的含根区间。

（1）cos0

x x

+=；（2）3cos0

x x

-=；

（3）sin()0

x

x e-

-=；（4）20

x

x e-

-=；

解：（1）设()c o s

f x x x

=+，则(0)1

f=，(1)-0.4597

f-=，由()

f x的连续性知在[]

1,0

x∈-内，()

f x=0有根。

同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]

0,1；0,

2

π

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

；[]

0,1 2．用二分法求方程sin10

x x-=在[]

0,2内的根的近似值并分析误差。

解：令()s i n

f x x x

=-，则有(0)10

f=-<，(2)0.81860

f=>，'()sin cos0

f x x x x

=+>，[]

0,2

x∈

所以函数()

f x在()

0，2上严格单调增且有唯一实根x*。

本题中求根使得误差不超过4

10-，则由误差估计式

1

2

|

|

+

-

≤

-

k

k

a

b

x

α，所需迭代次数k满足4

1

10

2

2

-

+

<

-

k

，即取28

.

13

≥

k便可，因此取14

=

k。用二分法计算结果列表如下：

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由上表可知原方程的根14 该问题得精确解为 08711.11415714=α，故实际误差为 0000396.0

3．判断用等价方程()x x φ=建立的求解的非线性方程32()10f x x x =--=在1.5附近的根的简单迭代法1()k k x x φ+=的收敛性，其中

（A ）2()11/x x φ=+；（B ）()x φ；（C ）()x φ=

解：取1.5附近区间[]1.3,1.6来考察。（A ）21

()1x x φ=+，显然当0x >时，()x ϕ单调递减，

而(1.3) 1.59171596φ=， (1.6) 1.390625φ=，

因此，当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。

又当[]1.3,1.6x ∈时，332

2'()0.9211.3x x φ=-≤<<，

由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式121

1k k

x x +=+， (0,1,2,)k =收敛。

（B ）1

32()(1)x x φ=+，则(1.3) 1.390755416φ=， (1.6) 1.526921344φ=， 223

12'()03(1)x

x x φ=>+ (0)x >，

所以当[]1.3,1.6x ∈时， []() 1.3,1.6x φ∈。

又当[]1.3,1.6x ∈时，222233

22 1.6

'()0.552133(1)(1 1.3)x

x x φ=≤<<++， 由迭代法收敛定理，对任意初值[]1.3,1.6x ∈，迭代格式1

2

31(1)k k x x +=+，(0,1,2,)k =收敛。