湖南大学出版社《数值计算方法》课后题答案

174.证明(1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积仍为单位上(下) 三角形矩阵;

(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下) 三角形矩阵.

证明:

(1) 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同

设AB=C 其中:

00

1;1;()

,,

ij n n

i j i j

j i j i

A j i

B j i

C c

a j i

b j i

⨯

⎧⎧

>>

⎪⎪

=====

⎨⎨

⎪⎪

<<

⎩⎩

，，

，，

当i<j 时

ij

c

1

n

ik kj

k

a b

=

=∑

1

(,0

i

ik kj ik

k

a b k i a

=

=>=

∑时）

1

,0

kj

n i

ij ik kj ik kj

k k j

j i k b

c a b a b

==

>≥=

==

∑∑

=0（时）

当i>j时

当i=j时，

1

1

n

ii ik ki ii ii

k

c a b a b

=

===

∑

1

n i

ij ik kj ik kj

k k j

c a b a b

==

==

∑∑

当i>j时

，所以,C为单位上三角矩阵

(2)证明方法类似(1)

5．证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵;

非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵;

证明:……………………………………………………………………

6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组

（1）

1

2

3

4

22351

12124

25327

13230

x

x

x

x

---

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

- ⎪

⎪ ⎪

=

⎪

⎪ ⎪

-

⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭