1983年全国高中数学联赛试题及解答(9)

全国高中数学联赛试题及解答

SACD∶SABC=6∶1，故DE∶EB=6∶1，∴DB∶BE=7∶1．

r

3

AM∶AC=r∶(r+1)，即AM=，AE=AC，

r+17

34r－31

∴EM=()AC=．MC=AC，

r+177(r+1)r+1

4r－3CNDBEM∴EM∶MC=Menelaus定理，知··=1，代入得

7NDBEMC

4r－37

r

r·7·=1，即4r2－3r－1=0，这个方程有惟一的正根r=1．故CN∶ND=1，就是N为CN中点，

M为AC中点．

4. (本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．

解：边长为2的三角形，其余两边可能是： ⑴ 3，3；⑵ 3，4；⑶ 4，5；⑷ 5，5． 按这几条棱的组合情况，以2为公共棱的两个侧面可能是：

① ⑴，⑷；② ⑴，⑶；③ ⑵，⑷．

先考虑较特殊的情况①：由于32+42=52，即图中AD⊥平面BCD， 11

∴ V1=·32

83

4

A

5

5

A

42

B

2

3

D

B

2

B

5

情况1

C

C

情况2

情况3

C

32－12·4=2；

情况②：由于此情况的底面与情况②相同，但AC不与底垂直，故高<4，于是得 V2<V1．

1

52

54

情况③：高<2，底面积=·5

215∴ V3<·

34

11=

56

811<

3

32－()2=11．

2．