1983年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛

第一试

1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)

⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么 A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ⑵ x=

1111

的值是属于区间

1

log12353

A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) ⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中 A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数

C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定 ⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是 1

A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0<a<1

44⑸ 已知函数f(x)=ax2－c，满足

－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5． 那么，f(3)应满足

2835

A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D≤f(3)≤33⑹ 设a，b，c，d，m，n都是正实数，

1

P=abcd，Q=ma+nc·

bdmn

A．P≥Q B．P≤Q