1983年全国高中数学联赛试题及解答(7)

全国高中数学联赛试题及解答

解：R=A→180°时，a最大，而R可大于任意指定的正数M．从而可有R<6l，否定A、C．

2sinA

32

A

又正三角形中，R+r=a<l， 否定B．故选D．

2．填充题(本题满分18分，每小题6分)

3

5

⑴ 在△ABC中，sin，cos，那么cosC的值等于 ．

513

412454

解：cosA=±sinB=，但若cosA=－，则A>135°，cosB=60°，B>60°，矛盾．故cosA=．

51351355431216

∴ cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－+·．

13551365⑵ 三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个．

解：设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，

x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11

上的整点)共有122÷4=36个．即填36．

⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球

半径之比是一个既约分数m n是 ．

mn

解：此六面体可看成是由两个正四面体粘成．每个正四

63

69

面体的高h1=a，于是，利用体积可得Sh1=3Sr1，r1=．

同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的

22

34

66

高h2=，又可得 a2h2=4×2r2，r2=．

r12

∴ =，∴ m n=6．

r23