1983年全国高中数学联赛试题及解答(10)

全国高中数学联赛试题及解答

8

∴ 最大体积为

3

2．

5．(本题满分18分) 函数

F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|

3

在 0≤xπ上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．

2

解：F(x)=|

2 sin(2x+ )+Ax+B|．取g(x)=

4

9

2 sin(2x+ )，则g( )=g()=

488

5

2 ．g()=－

8

2 ．

取h(x)=Ax+B，若A=0，B≠0，则当B>0时，F()>

85 5

若A≠0，则当h( )<0时，F(889 5 9

h( )>h()>0，此时F( )>888

5

2 ，当B<0时，F( )<

8

2 ．从而M> 2 ．

5

2 ，当h()≥0时，由于h(x)是一次函数，当A>0时h(x)递增，

8

5 2 ；当A<0时h(x)递减，h( )>h()>0，此时F( )>

888

2 ．故此时

M> 2 ．

若A=B=0，显然有M= 从而M的最小值为

2 ．

2 ，这个最小值在A=B=0时取得．