1983年全国高中数学联赛试题及解答(8)

全国高中数学联赛试题及解答

第二试

π

1．(本题满分8分)求证：arc sinx+arc cosx=x∈[－1，1]

2

证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，

sin(－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴ arccosx∈[－]．

2222

ππππ

π

故根据反正弦定义，有arcsinx=arccosx．故证．

2

2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)

1

－f(x2)|<|x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|<．

2

1

证明：不妨取0≤x1<x2≤1,若|x1-x2|≤，则必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|<．

22111

若|x1-x2|>，则x2－x1>于是1－(x2－x1)<即1－x2+x1－0<．

2222

而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1－0|+|1－x2|

1

=1－x2+x1－0<．故证.

2

3．(本题满分16分) 在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在

1

1

AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．

证明 设AC、BD交于点E．由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，令CN∶

D

B

C

A

N

ND=r(r>0)， 则AM∶MC=r．

由SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即SABD∶SBCD =3∶4． 从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7．