1983年全国高中数学联赛试题及解答(6)

全国高中数学联赛试题及解答

⑸ 已知函数f(x)=ax2－c，满足

－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5． 那么，f(3)应满足

2835

A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20 D≤f(3)≤33解：f(1)=a－c，f(2)=4a－c，f(3)=9a－c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)， 58

∴ λ+4μ=9，λ+μ=1．∴ λ=－，μ=f(3)=－f(1)+ (2)．

33335408840

但≤－(1)≤≤f(2)≤ 33333358

∴－1≤－f(1)+ (2)≤20.．选C．

33⑹ 设a，b，c，d，m，n都是正实数， 5

5

8

P=abcd，Q=ma+nc·

bdmn

A．P≥Q B．P≤Q

C．P<Q D．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关． 解：由柯西不等式，Q≥P．选B．

⑺ 在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有

A．9个 B．17个 C．1个 D．5个

解：如图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个交点满足要求，正方形的中心满足要求，共有9个点．选A．

⑻ 任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么

A．l>R+r B．l≤R+r C．<R+r<6l D．A、B、C三种关系都不对

6

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