1983年全国高中数学联赛试题及解答(5)

全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛解答

第一试

1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)

⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么 A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解：p3－q3=(p－q)(p2+pq+q2)．又p+q=p－q+2q，故p+q与p－q的奇偶性相同． ∴ p+q为偶数， p－q为偶数， p3－q3为偶数．

p+q为奇数， p、q一奇一偶， p3－q3为奇数．故选C． ⑵ x=

1111

的值是属于区间

1

log12353

A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) 解：x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D．

⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中 A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数

C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定

解：tan为有理数， sinA、cosA都是有理数．选B． 2

⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是 1

A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0<a<1

44

解：M∩N=N的充要条件是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程

14

1

A

y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0， a≥1，选A．