离散数学 第2章 习题解答(5)

对所有x，若|x－a|＜δ，则|f(x)－f(a)|＜ε。试把此定义用符号化的形式表达出来。

解：( ε) ((ε＞0)→( δ)( (δ＞0)∧( x) ((|x－a|＜δ)→(|f(x)－f(a)|＜ε))))

7.若定义惟一性量词( !x)为“存在惟一的一个x”，则( !x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真”。试用量词，谓词及逻辑运算符表示( !x)P(x)。

解：( !x)P(x) ( x)P(x)∧(( y)P(y)→(y=x))

习题 2.3

1. 设个体域为D= 1,2,3 ，试消去下列各式的量词。

(1) ( x)P(x)

解：( x)P(x) P(1)∧P(2)∧P(3)

(2) ( x)P(x)→( y)Q(y)

解：( x)P(x)→( y)Q(y) (P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))

(3) ( x)P(x)∨( y)Q(y)

解：( x)P(x)∨( y)Q(y) (P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))

(4) ( x)(P(x) Q(x))

解：( x)(P(x) Q(x)) (P(1) Q(1))∧(P(2) Q(2))∧(P(3) Q(3))

(5) ( x) P(x)∨( y)Q(y)

解：( x)¬P(x)∨( y)Q(y) (¬P(1)∧¬P(2)∧¬P(3))∨(Q(1)∧Q(2)∧Q(3))

2. 求下列各式的真值。

(1) ( x)( y)H(x,y) 其中H(x,y)：x＞y，个体域为D= 4,2

解：( x)( y)H(x,y) ( y)H(2,y)∧( y)H(4,y)

(H(2,2)∨H(2,4))∧(H(4,2)∨H(4,4))

(0∨0)∧(1∨0) 0∧1 0

(2) ( x)(S(x)→Q(a))∧p 其中S(x)：x＞3，Q(x)：x=5，a：3，p：5＞3，个体域为D= -1,3,6 解：( x)(S(x)→Q(a))∧p ((S(-1)→Q(3))∨(S(3)→Q(3))∨(S(6)→Q(3)))∧(5＞3)

((0→0)∨(0→0)∨(1→0))∧1

(1∨1∨0)∧1 1∧1 1

(3) ( x)(x-2x+1=0) 其中个体域为D= -1,2

解：( x)(x2-2x+1=0) (((－1)2－2×(－1)＋1=0)∨(22－2×2＋1=0)

((4=0)∨(1=0) 0∨0 0

3. 证明下列各式。其中：B是不含变元x的谓词公式。

(1) ( x)(S(x)→R(x)) ( x)S(x)→( x)R(x)

证明：( x)(S(x)→R(x)) ( x)(¬S(x)∨R(x))

( x)¬S(x)∨( x)R(x)

¬( x)S(x)∨( x R(x)

( x)S(x)→( x)R(x)

(2) ( x)( y)(S(x)→R(y)) ( x)S(x)→( y)R(y)

证明：( x)( y)(S(x)→R(y)) ( x)( y)(¬S(x)∨R(y))

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