离散数学 第2章 习题解答(12)

⑾ Q(c)→ X(c) T⑶⑽假言三段论

⑿ X(c)→ Q(c) T⑾假言易位式

⒀ ( x)(X(x)→ Q(x)) UG⑿

⒁ ( x)(X(x)→ Q(x))∧( x)(X(x)→ W(x)) T⑻⒀合取引入

(3) 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。 解：首先将命题符号化：

Q(x)：x是有理数。 W(x)：x是无理数。

F(x)：x能表示成分数。

本题要证明： ( x)(W(x)∧F(x)), ( x)(Q(x)→F(x)) ( x)(Q(x)→ W(x))

证明：

⑴ ( x)(W(x)∧F(x)) ⑵ ( x) (W(x)∧F(x))

⑶ (W(c)∧F(c))

⑷ W(c)∨ F(c)

⑸ F(c)→ W(c)

⑹ ( x)(Q(x)→F(x))

⑺ Q(c)→F(c) P T⑴量词否定等价式 US⑵ T⑶德摩根律 T⑷条件等价式 P US⑹

⑻ Q(c)→ W(c) T⑸⑺假言三段论

⑼ ( x)( Q(x)→ W(x)) UG⑻

(4) 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)

解：首先将命题符号化：

P(x)：x喜欢步行。 Q(x)：x喜欢骑自行车。

R(x)：x喜欢乘汽车。

以全体人类为个体域(全总个体域也可类似证明)本题要证明：

( x)(P(x)→ Q(x))，( x)(Q(x)∨R(x))，( x) R(x) ( x) P(x)

证明：

⑴ ( x) R(x) P

⑵ R(c)

⑶ ( x)(Q(x)∨R(x))

⑷ Q(c)∨R(c)

⑸ Q(c)

⑹ ( x)(P(x)→ Q(x))

⑺ P(c)→ Q(c)

⑻ P(c)

⑼ ( x) P(x)

ES⑴ P US⑶ T⑷析取三段论 P US⑹ T⑸⑺拒取式 UG⑻