同济版高数2-2(9)

【例7】求函数y=logax的导数.

【解】∵x=a在Iy∈( ∞,+∞)内单调、可导,

yy′且(a)=alna≠0,∴在Ix∈(0,+∞)内有,

111=y(logax)′=y=.

(a)′alnaxlna

即特别地

y

14/30

三. 复合函数的求导法则

2xsin ex ，对于lntanx ， 1+x2等复合函数，

3

15/30

(1) 它们是否可导？(2) 若可导, 如何求导？存在两个问题：

.以下法则回答了这两个问题以下法则回答了这两个问题.

】若函数u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可定理】1.【定理

导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为

dydydu

= . 或dyg′(x). =,等于因变量对中间变即: 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,

,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)

【推广】此法则可推广到多个中间变量的情形.［例如］y=f(u),u= (v),v=ψ(x)

dy

dydudvdx=du dv

dx=f′(u) ′(v) ψ′(x)

关键关键】】 搞清复合函数结构, 由外向内由外向内逐层求导

逐层求导.【课本例11】求函数y=lnsinx的导数.

【解】∵y=lnu,u=sinx.

∴dydydudx=du

dx=1u

cosx=cosx

sinx=cotx16/30

y【