同济版高数2-2(12)

dy.【课本例13】设y=lncos(e),求dxx

】y=lnu, u=cosv, v=e. 【分析分析】dy1xxxx

= etan(e) ( sin(e))= e【解】x

dxcos(e)

x

19/30

【思考】若f′(u)存在 , 如何求f(lncos(e))的导数?思考】

xx

[f(lncos(e))′=

x

x

x

f′(u)u=lncos(ex)

先复合后, 再对x求导.[f(lncos(e))]′—表示函数表示函数先复合后

f′(lncos(e))—表示函数先对u求导, 再复合.表示函数先对

x

[练习] 设y=f(f(f(x))),其中f(x)可导,求y′.

x+1

(x>2)的导数.【补例】求函数y=ln112

先化简再求导【解】∵y=ln(x+1) ln(x 2),

23

x1111

=2 ∴y′= 2 2x

2x+13(x 2)x+13(x 2)

2

20/30

【补例】求下列导数:(1)(x)′;(2)(x)′;

µlnx

′)′【证】 (1)(x)=(e

µx

µ

=e

µlnxµ

(µlnx)′

注意µµ 1=x =µx

x

xlnx

′(2)(x)=(e)′

x

=e

xlnx

x

′ (xlnx)=x(lnx+1)

若 f (u) 在u0不可导, u = g(x)在x0可导, 且u0 = g(x0) , 则f (g(x))在x0 处一定不可导吗？试举例说明

此例说明:复合函数的求导法则的条件是充分条件,不是必要条件.