水资源管理课程

P（X≥x）—— 随机变量X取值大于或等于x的概率；

F（x）—— 随机变量X的分布函数。

随机变量的分布函数可用曲线的形式表示。在工程水文里面，又习惯于将水文变量取值大于或等于某一数值的概率称为该变量的频率，同时将表示水文变量分布函数的曲线称为频率曲线。

分布函数、水文变量的频率，以及频率曲线这些概念均十分重要，需注意理解和掌握。

对于连续性随机变量，还有另一种表示概率分布的形式——概率密度函数。

按照概率论的定义，概率密度函数是分布函数的导数。概率密度函数在某一个区间的积分值，表示随机变量在这个区间取值的概率。

在工程水文中，频率是水文变量取值大于或等于某一数值的概率，因此，水文变量的频率就是概率密度函数从变量取值到正无穷大区间的积分值。用公式表示，水文变量频率和概率密度函数之间的关系可以写为

F(x) P(X x)

x（字幕）

此式中， F（x）是随机变量X的分布函数值，也就是水文变量X取值为x时候的的频率，而p(x)是概率密度函数。

如前述，水文变量的分布函数可以用频率曲线表示。类似地，概率密度函数也可以用概率密度函数曲线表示。

因分布函数和概率密度函数之间存在着对应关系，频率曲线和概率密度函数曲线之间也存在着对应关系，这种对应关系可以用文字教材的图5.3表示。图5.3中，左边是概率密度函数曲线，右边是频率曲线。图中两边的纵坐标均表示随机变量的取值，左边的横坐标表示概率密度函数值，右图的横坐标表示频率。左边随机变量取值的概率密度函数值越大，表明随机变量在这个值附近区间取值的概率越大。

因频率F(xi)是概率密度函数从xi到正无穷大这个区间的积分，所以，右边中的F(xi)等于左图中xi以上的阴影面积。从图中可以看到，xi取值越小，阴影面积越大，频率F(xi)取值也越大。这显然是合理 p(x)dx

的，因为随机变量取值越小，大与等于这个取值的可能性越大。

对这张图里面表示的各种关系大家一定要弄清楚。

13．经常听到“多少年一遇的洪水”、“多少年一遇的干旱”这样的提法，如何正确理解？

“多少年一遇”，或者“重现期”，都是工程和生产上，用来表示随机变量统计规律的概念。

重现期表示在长时间内，随机事件发生的平均周期。即在很长的一段时间内，随机事件平均多少年发生一次。

重现期这个名词听起来很通俗，但需注意理解：

第一，重现期和概率一样，都表明随机事件或随机变量的统计规律。说某一条河流发生了 “百年一遇洪水”，是指从很长一个时期来看，大于或等于这次洪水的情况，平均100年出现一次。

重现期是对于类似于洪水这样的随机事件发生的可能性的一种定量描述。不能理解为百年一遇的洪水每隔100年一定出现一次。实际上，百年一遇洪水可能间隔100年以上时间发生，也可能连续两年接连发生。

第二，水文随机变量是连续型随机变量，水文变量的频率是水文变量大于或等于某个数值的概率。对应于频率，水文变量的重现期是指水文变量在某一个范围内取值的周期。如某条河流百年一遇的洪水洪峰流量是1000m3/s，是指这条河流洪峰流量大于或等于1000m3/s的洪水重现期是100年，而不是指洪峰流

3量恰恰等于1000m/s的洪水重现期是100年。

第三，水利工程中所说的重现期，是指对工程不利情况的重现期。对于洪水、多水的情况，水越大对工程越不利。此时，重现期是指水文随机变量大于或等于某一数值这一随机事件发生的平均周期。如用大写的T表示重现期，用大写的P表示频率，按照频率和周期互为倒数的关系，可知洪水、多水时，重现期计算公式为

T 1

P

因洪水、多水的时候，频率P小于或等于50%，此公式的适用条件又可写为P≤50%。

对于枯水、少水的情况，水越小对工程越不利，此时重现期是指水文随机变量小于或等于某一数值的平均周期。按照概率论理论，随机变量“小于或等于某一数值”是“大于或等于某一数值”的对立事件，“小于或等于某一数值”的概率等于1-P，故此时重现期的计算公式为