水资源管理课程

验的次数再多，也不能求得随机事件真正的概率。如要确定某一个射手打靶射中不同环数的概率，必须让射手在同样的条件下进行射击，如射击的射程、靶型、武器、风力等都不应改变。

类似地，进行水文统计时，水文现象的各种有关因素也应当是不变的。如果流域的自然地理条件已经发生了比较大的变化，还把不同条件下的水文资料放在一起进行统计就不合理了。下面将要介绍，发生这种情况的时候，应当把实测水文资料进行必要的还原和修正以后，再进行统计计算。

12．什么是随机变量，怎样表示随机变量的概率分布？

要进行水资源管理工作及对水资源进行配置、节约和保护，必须了解和掌握水资源的规律，必须预测未来水资源的情势。但因影响水资源的因素十分众多和复杂，目前还难于通过成因分析，对水资源进行准确的长期预报。实际工作中采用的基本方法是对于水文实测资料进行分析、计算，研究和掌握水文现象的统计规律，然后按照统计规律对未来的水资源情势进行估计。而这样做，需要对随机事件定量化地表示，为此引入随机变量。

按照概率论理论，随机变量是对应于试验结果，表示试验结果的数量。如在工地上检验一批钢筋，可以随机抽取几组试件进行检验，每一组试件检验不合格的根数就是随机变量。又如某条河流，其历年的最大洪峰流量、最高水位、洪水持续时间等都可看为随机变量。

随机变量的数学定义为：在一组不变的条件下，试验的每一个可能结果都唯一对应到一个实数值，则称实数变量为随机变量（“唯一对应”又称“一一对应”，是指每一个试验结果，就只对应一个数据，而每一个数据，又只对应一个试验结果）。

随机变量常用大写字母来表示，如随机变量X（注意这里大写的X是变量，X的取值可以是x1、

x2、 xn，即X表示随机取值的系列x1、x2、 xn）。

随机变量可以分为两类：

（1）离散型随机变量

如果随机变量是可数的，即随机变量的取值是和自然数一一对应的，就称为离散型随机变量。离散型随机变量不能在两个相邻随机变量取值之间取值。

离散型随机变量可以是有限的，也可以是无限的，但必须是可数的。

（2）连续型随机变量

如果随机变量的取值是不可数的，也就是在有限区间里面，随机变量可以取任何值，就称为连续型随机变量。

比如，某一个长途汽车站，每隔30分钟有一班车发往某地。对于一位不知道长途汽车时刻表的旅客，来车站等车到出发的时间是一个随机变量，这个随机变量取值可以是从0到30分钟区间的任意值，所以是一个连续型随机变量。

连续型随机变量是普遍存在的。水文变量，如降雨量、降雨时间、蒸发量、河流的流量、水量、水位等等，都是连续型随机变量。

对于随机变量，仅仅知道它的可能取值是不够的，更为重要的是了解各种取值出现的可能性有多大，也就是明确随机变量各种取值的概率，掌握它的统计规律。

随机变量取值与其概率的对应关系称为随机变量的概率分布。

对于离散型随机变量，可以用列举的方式表示它的概率分布。列举的方法可以是列表，画图等。我们的文字教材中举了例子。

对于连续型随机变量，因为它是不可数的，不能一一列举，所以也就也不能用列举的方法表示概率分布。

比如前面提到的乘客在长途汽车站等车的例子，等车时间可以是0到30分钟区间里的任何时间，故无法列举所有的随机变量及其相应概率。实际上，等车时间在0到30分钟的任何时间的可能性是相等的，对于这个区间的任意时间，其概率等于无穷大分之一，即近似等于0。

从这个例子可以看出，列举连续型随机变量各个值的概率不仅做不到，而且实际上是没有意义的。 为此，我们转而研究和分析连续性随机变量在某一个区间取值的概率。在工程水文里面，就是研究某一水文变量大于或等于某一数值的概率。

对于一个随机变量，大于或等于不同数值的概率是不同的。当随机变量取为不同数值时，随机变量大于等于此值的概率也随之而变，即概率是随机变量取值的函数。这一函数称之为随机变量的概率分布函数。分布函数的公式为

F（x）= P（X≥x）

式中 X —— 随机变量；

x —— 随机变量X的取值；