平面几何小册子(6)

时间：2025-04-20

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

C O1

(注:上述结论是这样发现的——在外接圆上拖动 A 点,观察所共圆的包络,形成共轴圆系,但有限制,圆最小不会小于外接圆的一半;圆心 O′也局限在两条射线上变化. )

A O2 O O' D

(3)Salmon 定理的推广设 D 是△ABC 的 BC 边上任一点,延长 AD 交外接圆于 M,作 MN⊥BC 交外接圆于另一点 N.又设 O1,O2 分别是△ ABD,△ACD 的外心.DO1 交△ACD 的外接圆于 X 点,DO2 交△ABD 的外接圆于 Y 点.则 A,O1,O2,O,N,X,Y 七点共圆.

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叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

）

（4）一个有趣的模式

设△ABC的BC

点。△ABD、△ACD的外心分别为O1、O2，△

则当A点运动时，O1、

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

其中Ω1和Ω2的离心率相同，分别经过B、C两点，且都经过外心O；

Ω′的离心率与它们也有函数关系。经描点，函数图象大致如下图所示（乃是不连续的两段，出现两个尖点，且其中一段特别奇怪，呈现出一个小小的V字形），具体关系尚待研究。

特别地，当P点取为外心O时，Ω1、Ω2同时成为等轴双曲线，而Ω退化成射线（瘦死的双曲线）——此即上述（2）中的情形。

而当P点取在外接圆上时，则得到更重要的一种特例，这时，Ω1、Ω2、Ω全退化成直线（乃是双曲线退化成其渐近线的情况，其中一支失去意义）——此即上述（3）中的情形。

最后这种情况非常有意思，想必还能从中挖掘出更为有趣的结论。叶中豪06-05-17 附件：Hi．doc（605KB）；06051302．gsp（95KB）

【From：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu> RE: ??: Tue, 16 May 2006 23:13:05 -0400】

I like the 90 degree variation. I think it can be a good problem 1, is it? My variation is too easy, is it? I tried to ide point O. But I think 90 degree version also did it. The original 120 degree version is fine too. I am think need a prolbem 1 (or 2) for USA Team Selection Test, what will be your suggestion? I put the adding two isosceles triangles problem (we tlaked about before) as problem 5. Please keep in mind the US students are not very strong on geo.

Zuming Feng

PEA

【From：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu> RE: ??: Tue, 16 May 2006 23:24:02 -0400】

In the generalization of Salmon's theorem, how do you establish the fact that $X$ lies on the circle?

Zuming Feng PEA

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

Hi，很快就收到了你的回复！

你说的90度指的是哪题？是O1O2被BC平分那题？我后来想了一下，这题中的所有角度都很容易求出，似不适宜做赛题。

等腰指的是哪题？闵飞的题如要用需征求他的同意。

Salmon定理推广中，X、Y两点也在圆上是昨天刚刚发现的，还未找到好的证明。

刚才最后所提到的模式，之所以很有意思，因为它把前面（2）、（3）两种情形统一在一起了。即使是Ω1、Ω2离心率相同也绝非是显然的，还未给出证明，仅仅是猜测！

刚才又想了一种有意思的特例：当固定点P取无穷远点时，这时Ceva线AD方向恒定，这时Ω1、Ω2、Ω退化成为三个等圆！