平面几何小册子(5)

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

“Rt△ABCO1O2的中点在斜边BC上。”

B

P

1

而当∠A＝60°或120°时，包络会退化成线段。这时AP分别是外角平分线和内角平分线，前者就是你这题的情形，后者也可叙述成一个类似的题。

另外，当∠A

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

请参见所附的06051302．gsp。不知这题原先的背景如何，是否由某竞赛题改编而成？ 暂写这些。祝 好！叶中豪06-05-13

【From：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>another way to ask the question Tue, 16 May 2006 19:02:41 -0400】

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

Hi,

the three problems you sent recently are interesting. I agree that problem 2 has lots of ideas in it. Here is my variation: Let $ABC$ be a given triangle. Point $D$ lies on side $BC$. Let $O_1$ and $O_2$ are the circumcenters of triangles $ABD$ and $ACD$, respectively. Let $O$ be the circumcenter of triangle $AO_1O_2$. As $D$ moves along segment $BC$, what is the locus of $O$?

What do you think?

Zuming Feng PEA

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

Hi，

你的问题答案如下：

当D点在BC直线上运动时，记△ABC的外心为O，则因A、O1、O2、O四点始终共圆（Salmon定理），故所共圆的圆心O′轨迹是线段AO的中垂线。

（注意：这时A、O两点都是定点。）

回复： Wed, 17 May 2006 10:38:39 +0800 (CST)】

这两天仍继续在此题的图形中作些探讨，又有若干小的结果： （1）所共圆经过D点的充要条件是∠A＝90°。

B

D点也在圆上的充要条件是

A=90

C

（2）当AD是△ABC外接圆的切线时，所共圆与BC的中垂线相切于O点。 且此时所共圆的直径总是≥R（△ABC的外接圆半径）；等号成立当仅且当OA∥BC。