平面几何小册子(2)

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

这里给出题目1的证明：首先证明AQ OP

T

过P作⊙O的另一条切线，切点为T，设AT与BC交于F，

ADPACEPC

由角平分线性质知：， DBPBEAPA又

BFS BTFBT FT sin BTFPT sin ACB

FCS CTFCT FT sin CTFPC sin ABC

=

PAABPAPBPB

= PCACPCPAPC

ADBFCE

1 从而

DBFCEA

∴由Ceva定理知AF、BE、CD三线共点于Q 结合AT OP有AQ OP

必要性：设 BAC=60 ，在△ADE中，

ADE= ABP+ BPD= PAC+ APD= AED

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

∴△ADE是等边三角形

ADPAPCCE

又 DBPBPAEADEEC

∴，且 BDE= DEC=120 DBED

∴△BDE～△DEC ∴ DBE= EDC

∴ EDC+ BED= DBE+ BED= ADE=60 ∴ BQC= DQE=60 又 BOC=2 BAC=120

∴O、B、C、Q四点共圆，A、D、Q、E四点共圆 ∴ OQD= OBC=30 ， DQA= DEA=60

∴OQ AQ结合前已证AQ OP有O、P、Q共线。 充分性：设O、P、Q共线，则 OAP= OQA=90 ∴PA2=PQ·PO，又PA2=PC·PB ∴PQ·PO=PC·PB

∴O、B、C、Q四点共圆

CQPCAQPA

从而，且有 OBOPOAOP∴

CQPCCE AQPAAE

∴QE平分 AQC，即 AQE= CQE ① 另一方面由O、B、C、Q四点共圆知

OQD= OBC= OCB= OQB= PQE 结合 OQA= PQA =90 知 DQA= AQE ②

由①、②知 DQA= AQE= CQE=60 从而 BQC= BOC= 2 BAC=120 即有 BAC=60

【To：闵飞<minfei2003@>

闵飞老师：你好！

三个题已收到，非常有趣。我都已给出了解答。

题目1我是直接用计算的办法，与你原有的方法稍许不同。虽有些烦琐，但揭示出了内在关系： 【证明】如图，连接AQ，延长后交BC于D，交外接圆于T。

回复】

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