平面几何小册子(4)

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

不难证明A、N、O、O1、O2五点共圆。

显然NO⊥BC。为使B、O′、C共线，即N、O关于BC轴对称，必须且只需满足∠BOC＝∠BNC， 而 ∠BOC＝360°－2∠A （注：O与顶点A位于BC边异侧）， ∠BNC＝∠A， ∴ 3∠A＝360°，即∠A＝120°。证毕

题目3的图形以往我曾经讨论过，我正是借用以前所得到的某些结论来证明的：

的中点N、M。记△ABC的内、外心为I、O。 【证明】作△ABC的外接圆并取上、下BC

记△AEF的外心为O′。可以证明OIO′N是平行四边形。

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

为使O′、D、I1共线，在△I1O I中利用中位线知， 必须也只需满足 而

DM

1

O I。 2

aA

tan， O I NO R（外接圆半径）， 22Aa

2sinA， 代入得 ata R，而由正弦定理

2R

AcosAAA， sin2A 1， sinA 1。 A c，即4sincos ∴ 2sin

2242222sinA

2DM

∴

A 60 。证毕

这三个题中我认为题目2最有挖掘余地，例如可探究一般情况下（即AD是任意Ceva线）何时O′落在BC上。在几何画板中，可由△ABC逆向构造出满足上述条件的AD，它是唯一确定的。

当∠A＝