平面几何小册子(7)

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

这题难度不大，似可用作第1题。叶中豪06-05-17 附件：continue．doc（30KB）

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

又发现了重要的规律：

new discovery Wed, 17 May 2006 12:15:04 +0800 (CST)】

当控制点P在BC

P

附件：1．doc（53KB）；1．gsp（11KB）

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu>

离心率规律搞清楚了！Wed, 17 May 2006 16:51:36 +0800 (CST)】

花了整整一个下午，终于把Ω1、Ω2、Ω的离心率之间的规律搞清楚了！函数关系式是：

e2

e 2

2 e

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

其中e是Ω1和Ω2的离心率，e′是Ω

e = 0.89741e' = 0.6741312e2-1

= 0.67413

固定点

e

等多种不同形式。

2

上午那幅图中的函数图象就是因为杂揉了这几种形式从而造成分段和尖点的。

在这一深刻联系的背后，还蕴含着很多有趣的不变属性，例如我观察到（当P点沿平行于BC的方向运动时）Ω始终过两个定点；又如，当P点取定而BC边在外接圆中平移时，Ω本身完全不变！Ω1、Ω2虽然在变，但其离心率还是不变。

我正着手将这些现象总结成命题形式。估计可由此改编出不少题目。叶中豪06-05-17 附件：2．doc（50KB）；2．gsp（22KB）

【To：冯祖鸣<zfeng@exeter.edu> 改编成一道题 Wed, 17 May 2006 17:38:28 +0800 (CST)】

我将上午信中的（2）改编成如下一道题：

“设AD是△ABC的外接圆的切线，交BC边延长线于D点。O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心。记△ABC的外接圆半径为R，记过A 、O1、O2三点的圆的半径为r。求证：R≤2r；等号成立当且仅当│∠B－∠C│＝90°（注：这时AD⊥BC）。”