平面几何小册子(3)

叶中豪、冯祖鸣、闵飞三人通信。非常值得一看,尤其是数学竞赛的同学。

由△PAB∽△PCA及角平分线定理，知

BFAEc

。 FAECb

。

BDCEAFBDc2

1，∴ 在△ABC中，由Ceva定理，

DCEAFBDCb2

由此知AD是类似中线，故

AD

2bc

ma。 ①

b2 c2

AQDBCEAQc2b

1，即在△ADC中，由Menelaus定理， 22 1， QDBCEAQDc bc

∴

AQb2 c2

QDbc

。得

b2 c2

AQ 22AD。 ②

b c bc

ATAC

ABAM

，得

又取中线AM，由△ABM∽△ATC，∴

AT

bcma

。 ③

O、Q、P共线 Q是AT中点 即

AQ

AT2

。

2

将①、②、③代入得4ma由余弦定理，cosA

b2 c2 bc，而ma2

12212

b c a，得a2 b2 c2 bc。 24

1

，∴ A 120。证毕 2

题目2我给出了如下简证：

【证明】分别记△ABC、△ABD、△ACD的外心为O、O1、O2，△OO1O2的外心为O′。

中点N。 作出△ABC的外接圆，并取BAC