数学建模方法

例2-4 （盈亏决策分析）盈亏决策分析的基本方法是通过研究产销量、成本、利润三者的关系找出使盈亏平衡的产销量水平从而得到盈利区间和亏损区间．所以盈亏决策分析又称为盈亏平衡分析或量本利分析．盈亏决策分析可用于生产规模、价格决策、成本决策及其他生产、经济等方面的许多决策，在很多企业管理和经营分析以及运筹学教材中都用大量篇幅去阐述，在此不再详细叙述．

当然确定型决策还有许多种类型的问题和方法，它们都属于运筹学的核心内容，由于我们这本书偏重决策分析，因此不再一一列举．

2．2随机型决策基本原理

每个决策问题都包括两个方面，即决策人采取的行动（简称决策）和自然状态（简称状态）．所谓随机型决策问题，是指决策者所面临的各种自然状态是随机出现的一类决策问题．随机型决策问题有两个基本特点，那就是结果的不确定性和结果的效用．例如带伞的问题，决策人的决策是带伞和不带伞，状态是下雨和不下雨．如果决策人带伞，则有两种可能结果，即带伞遇雨和带伞不遇雨．如果决策人不带伞，也会有两种结果，即不带伞遇雨和不带伞不遇雨．因此，这个带伞问题共有两种决策和四种结果．因为出现什么状态是不确定性的，所以决策人做出某种决策以后会出现什么结果也是不确定的．结果的这种不确定性是随机型决策问题的主要特征之一．随机型决策问题的另一个特点是需要确定各种结果的效用．效用是结果价值的具体量化．由于在不确定情况下，无论决策人采取什么决策，他都会遇到他事先不能完全预料的结果，因此他要承担一定的风险．但是各个决策人冒风险的态度往往不相同．例如，在上面的带伞问题中，老年人很害怕没有带伞遇到雨，而青年人则较少顾虑．所以，同样的结果对不同的决策人会产生不同的效用．此外，即使在没有风险的情况下，不同的决策人对各种结果也有不同的偏好．因此，在进行定量的决策分析之前，必须确定所有结果的效用．只有这样，人们才能比较各种决策的优势，并从中选择他们所最喜爱的那个决策．

2．2．1随机型决策问题的分类

按决策问题涉及的目标的数量，可以分为单目标决策和多目标决策；如按决策者的数量，可以把随机型决策问题，分为单人决策和多人决策；还可以按决策问题的求解步骤，把一次性求得问题的解的决策称为单步决策，而把需要多次求解，根据前一次求解的结果或执行的情况再做下一次决策的成为多步决策或序贯决策．

2．2．2 随机型决策问题的决策方法和步骤

随机型决策分析的理论基础是统计决策理论，长期以来人们力图把这种理论用于解决生产和经营管理中的实际问题，因此提出了一整套实用的分析方法．当运用随机型决策分析方法去解决问题时，常常遇到的两个关键的问题，那就是设定主观概率和确定结果的效用．这在下面两节中会详细阐述，下面我们主要介绍一下随机型决策方法的实施步骤．

随机型决策分析的规范步骤一般包括如下三个阶段：即确定阶段、随机阶段和信息阶段．具体步骤可用下例说明．

我们研究一个生产问题．这个问题可用图2．1的决策树去表示．图中的方点称为决策点，从该点引出的分支称为决策枝，由决策人所选择，如图中a1,a2,a3,a4就称为决策（或行动）方案，圆点称为机会点，从该点引出的分支称为机会分枝，他们由客观环境所确定，如图中的 1, 2, 3和 4称为状态．在每个机会